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    北京大学2000年研究生入学考试试题

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    标签:研究生(3)
    北京大学2000年研究生入学考试试题
    一(20分)质量为 的粒子,在位势
    中运动,1)试给出存在束缚态的条件,并给出其能量本征值和相应的本征函数;
    2)给出粒子处于 区域中的几率,它是大于 ,还是小于 ?为什么?
    解:薛定谔方程可化为:
    二、(10分)若 是氢原子的定态矢,计及自旋-轨道耦合。
    1)给出 态的守恒量完全集;
    2)若 ,则 态的那些量子数可能是不同的?为什么?
     解:1) 为耦合基矢,守恒量的完全集合是 ;
      2)量子数 必然是相同的。量子数 可能是不同的。因为 不是 的本征函数。
    (注: 是 的非零函数, 为电子自旋和坐标算符)
    三、(16分)三个自旋为 的粒子,它们的哈密顿为 ,
    求本征值和简并度。
    解:
        个自旋为 的粒子只有以下四个状态:3个自旋均向上,3个自旋均向下,2个自旋向上、1个自旋向下,2个自旋向下、1个自旋向上,总自旋 ,组成四重态。
           其本征函数分别为
     
      的本征值为 ,简并度为4.
    四、(22分)两个自旋为 的粒子,在 表象中的表示为 ,其中 是第 个粒子自旋向上的几率, 是第 个粒子自旋向下的几率。
      1)求哈密顿量    的本征值和本征函数;
      2) 时,体系处于
    求 时刻发现体系在态 的几率。
    解:本征方程为

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